О курсе

Целью данного курса является знакомство с общей алгеброй практически с нуля, то есть никакие специфические знания не предполагаются (хотя, конечно, не будут лишними).

Планируется рассмотрение как классичесих и общеизвестных алгебраических конструкция (группы, кольца, поля), так и более современных, без которых современная содержательная математика абсолютно немыслима (категории, функторы), а также связи алгебры и геометрии (элементы коммутативной алгебры и класической алгебраической геометрии, понятие аффинной схемы и пр.).

  • Чему вы научитесь?

    по окончании курса студент должен обладать базовыми навыка- ми решения несложных алгебраических задач, а также владеть языком общей и частично высшей алгебры, необходимой для успешного освоения других разделов математики.

  • На кого ориентирован курс?

    Студенты IT и естественнонаучных специальностей, а также все желающие

  • Пререквизиты

    Курс «с нуля». Приветствуется знание математического анализа, линейной алгебры и базовых общематематических понятий.

Преподаватели

  • Никита Монченко

    Никита Монченко

    сотрудник Центра фундаментальной математики МФТИ, кафедры высшей математики (ведет математический анализ, линейную алгебру, теорию категорий), студент 6-го курса. Докладчик на семинаре лаборатории алгебраической геометрии и гомологической алгебры (МФТИ), воркшопе «Современная алгебраическая геометрия» (институт им. Эйлера, г. СПб).

Программа

01

отображения множеств, мощность, теорема Кантора, отношение эквивалентности, фактормножество.

02

* Моноиды и группы
* Действие на множестве
* Классификация подгрупп
* Гомоморфизмы групп, ядро, образ и коядро
* Абелевы группы, абелианизация
* Свбодные группы, свободные абелевы группы
* Задание группы с помощью образующих и соотношений, правила Титца,
* Классификация конечно-порожденных абелевых групп

03

* Категории, функторы, естественные преобразования
* Категория групп, категория множеств, категория абелевых групп
* Дуальная категория, эквивалентность категорий
* Сопряженные функторы, функторы забвения и свободы
* Аддитивные и абелевы категории

04

* Понятия кольца, гомоморфизмы колец, категория колец
* Идеалы, спектр кольца
* Коммутативные кольца
* Локализация кольца
* Модули над кольцом, свободные модули, нетеровы модули
* Категория модулей над кольцом, функтор расширения скаляров
* Векторные пространства
* Идеалы в кольце многочленов, алгебраические многообразия, коородинатные кольца, теорема Гильберта о нулях
* Элементы гомологической алгебры: короткие точные последовательности, комплексы, гомологии и когомологии

05

* Алгебраические расширения и алгебраическое замыкание
* Конечные поля
* Теория Галуа
* Неразрешимость алгебраических уравнений степени выше четвертой

06

Теория представлений конечных групп

07

Аффинные схемы, структурный пучок, склеивание схем, афинная прямая и плоскость над полем

1. С. Ленг. Алгебра
2. Э.Б. Винберг. Курс алгебры
3. И.М. Гельфанд, Ю.И. Манин. Лекции по гомологической алгебре
4. М. Атья, И. Макдональд. Введение в коммутативную алгебру
5. Ю.И. Манин. Введение в теорию схем и квантовые группы

скачать программу

Поступающим

Как подать заявку на курс?